Python 机器学习算法一之线性回归的推导及实战

线性回归是机器学习中最基本的算法了，一般要学习机器学习都要从线性回归开始讲起，本节就对线性回归做一个详细的解释。

实例引入

在讲解线性回归之前，我们首先引入一个实例，张三、李四、王五、赵六都要贷款了，贷款时银行调查了他们的月薪和住房面积等因素，月薪越高，住房面积越大，可贷款金额越多，下面列出来了他们四个人的工资情况、住房面积和可贷款金额的具体情况：

姓名

工资(元)

房屋面积(平方)

可贷款金额(元)

张三

6000

30000

李四

9000

55010

王五

11000

73542

赵六

15000

63201

看到了这样的数据，又来了一位孙七，他工资是 12000 元，房屋面积是 60 平，那他大约能贷款多少呢？

思路探索

那这时候应该往哪方面考虑呢？如果我们假定可贷款金额和工资、房屋面积都是线性相关的，要解决这个问题，首先我们想到的应该就是初高中所学的一次函数吧，它的一般表达方式是 $ y = wx + b $，$ x $ 就是自变量，$ y $ 就是因变量，$ w $ 是自变量的系数，$ b $ 是偏移量，这个式子表明 $ y $ 和 $ x $ 是线性相关的，$ y $ 会随着 $ x $ 的变化而呈现线性变化。现在回到我们的问题中，情况稍微不太一样，这个例子中是可贷款金额会随着工资和房屋面积而呈现线性变化，此时如果我们将工资定义为 $ x1 $，房屋面积定义为 $ x_2 $，可贷款金额定义为 $ y $，那么它们三者的关系就可以表示为： $ y = w_1x_1 + w_2x_2 + b $，这里的自变量就不再是一个了，而是两个，分别是 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，自变量系数就表示为了 $ w_1 $ 和 $ w_2 $，我们将其转化为表达的形式，同时将变量的名字换一下，就成了这个样子： $$ h{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 $$ 这里只不过是将原表达式转为函数形式，换了个表示名字，另外参数名称从 $ w $ 换成了 $ \theta $，$ b $ 换成了 $ \theta_0 $，为什么要换？因为在机器学习算法中 $ \theta $ 用的更广泛一些，约定俗成。然后这个问题怎么解？我们只需要求得一组近似的 $ \theta $ 参数使得我们的函数可以拟合已有的数据，然后整个函数表达式就可以表示出来了，然后再将孙七的工资和房屋面积代入进去，就求出来他可以贷款的金额了。

思路拓展

那假如此时情景变一变，变得更复杂一些，可贷款金额不仅仅和工资、房屋面积有关，还有当前存款数、年龄等等因素有关，那我们的表达式应该怎么写？不用担心，我们有几个影响因素，就写定义几个变量，比如我们可以将存款数定义为 $ x3 $，年龄定义为 $ x_4 $，如果还有其他影响因素我们可以继续接着定义，如果一共有 $ n $ 个影响因素，我们就定义到 $ x_n $，这时候函数表达式就可以变成这样子了： $$ h{\theta}(x) = \theta0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + … + \theta_nx_n $这个式子看起来挺长的不好写的吧，我们可以使用求和公式写成如下形式：$ h{\theta}(x) = \sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i = \theta^Tx $$ 如果要使得这个公式成立，这里需要满足一个条件就是 $ x_0 = 1 $，其实在实际场景中 $ x_0 $ 是不存在的，因为第一个影响因素我们用 $ x_1 $ 来表示了，第二个影响因素我们用 $ x_2 $ 来表示了，依次类推。所以这里我们直接指定 $ x_0 = 1 $ 即可。后来我们又将公式简化为线性代数的向量表示，这里 $ \theta^T $ 是 $ \theta $ 向量转置的结果，而 $ \theta $ 向量又表示为 $ (\theta_0, \theta_1, …, \theta_n) $，同样地，$ x $ 向量可以表示为 $ (x_0, x_1, …, x_n) $，总之，表达成后面的式子，看起来更简洁明了。好了，这就是最基本的线性判别解析函数的写法，是不是很简单。

实际求解

那接下来我们怎样实际求解这个问题呢？比如拿张三的数据代入到这个函数表达式中，这里还是假设有两个影响因素，张三的数据我们可以表示为 $ x1^{(1)} = 6000, x_2^{(1)} = 58, y^{(1)} = 30000 $，注意这里我们在数据的右上角加了一个小括号，里面带有数字，如果我们把张三的数据看成一个条目，那么这个数字就代表了这个条目的序号，1 就代表第一条数据，2 就代表第二条数据，为啥这么写？也是约定俗成，以后也会经常采用这样的写法，记住就好了。所以，我们的愿景是要使得我们的函数能够拟合当前的这条数据，所以我们希望是这样的情况： $$ y^{(1)} = \sum{i=0}^{n}\theta{i}x{i}^{(1)} = \theta^Tx^{(1)} $其中 $ y^{(1)} $ 是真实值，但我们知道，哪有那么容易十全十美，丝毫不差的拟合函数，所以上面的式子一般来说是不成立的，函数计算值和真实值还是多少还是有一定的误差的吧，如果我们想知道函数真实拟合的结果的话，我们需要把 $ x $ 变量代入函数，会得到一个函数本身拟合的结果，是这样的：$ h{\theta}(x^{(1)}) = \sum{i=0}^{n}\theta{i}x{i}^{(1)} = \theta^Tx^{(1)} $这里的 $ h*{\\theta}(x^{(1)}) $ 就是我们函数得到的结果了。一般来说，二者是会存在一定的误差的，所以误差我们一般可以写成他们的差的绝对值或平方的形式，使用绝对值或平方的目的是消去正负号的影响，比如写成平方的形式就是这样子：$ (h{\theta}(x^{(1)}) - y^{(1)})^2 $这个式子就是我们函数真实拟合值和真实值之间的差距，没问题吧。相应的，如果是李四的数据，误差就可以写为：$ (h{\theta}(x^{(2)}) - y^{(2)})^2 $依次类推，如果是第 $ i $ 条数据，误差就可以写成：$ (h{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $要使得我们的函数对所有的数据都能尽量很好地拟合，我们可以把这些误差加起来求个平均，假设一共 $ m $ 条数据，那么所有数据的误差可以写成如下形式：$ J(\theta) = \dfrac{1}{2m}\sum{i=1}^{m}(h*\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$ 注意这里 $ i $ 指的是第几条数据，是从 1 开始的，一直到 $ m $ 为止，然后使用了求和公式对每一条数据的误差进行累加和，最后除以了 $ 2m $，我们的最终目的就是找出合适的 $ \theta $，使得这个 $ J(\theta ) $ 的值最小，即误差最小，在机器学习中，我们就把 $ J(\theta) $ 称为损失函数（Loss Function），即我们要使得损失值最小。有的小伙伴可能好奇损失函数前面为什么是 $ 2m $，而不是 $ m $？因为我们后面要用到这个算式的导数，所以这里多了个 2 是为了便于求导计算。况且一个表达式要求最小值，前面乘一个常数是对结果没影响的。

求解过程

由于我们求解的是线性回归问题，所以整个损失函数的图像非常简单清晰，如果只有 $ \theta1 $ 和 $ \theta_2 $ 两个参数，我们甚至可以直接画出其图像，整个损失函数大小随 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 的变化实际上类似于这样子：可以看到这是一个凸函数，竖轴代表损失函数的大小，横纵两轴代表 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 的变化，可见在中间的最低谷损失函数取得最小值，这时候损失函数在 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 上的导数都是 0，因此我们可以一步到位，直接用偏导置零的方式来求解损失函数取得最小值时的 $ \theta $ 值的大小。所以我们可以先对每个 $ \theta $ 求解其偏导结果，这里 $ \theta $ 表示为 $ \theta_j $，代表 $ \theta $ 中的某一维： $$ \dfrac{\partial{J(\theta)}}{\partial{\theta_j}} = \dfrac{1}{2m} \dfrac{\partial({\sum{i=1}^{m}{(y^{(i)} - h{\theta}(x^{(i)}))^2}})}{\partial{\theta_j}} \\\\ =\dfrac{1}{m}\sum{i=1}^{m}((h{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)}) $直接将偏导置零即可直接求解 $ \\theta_j $： $ \sum{i=1}^{m} {h{\theta}(x^{(i)})x_j^{(i)}} - \sum{i=1}^{m}y^{(i)}xj^{(i)} = 0 $这里将所有数据代入，即可通过求解方程组的形式直接解出 $ \\theta_j $ 的值，但这些方程组里面其实 $ \\theta_j $ 之间存在彼此依赖关系，需要联立求解出来。如果不用这种求解方式，我们可以使用梯度下降的方式来进行求解，在这里 $ \\theta_j $ 只需要逐步更新即可：$ \theta_j = \theta_j - \alpha\dfrac{\partial{J(\theta)}}{\partial{\theta_j}} \\\\ = \theta_j - \dfrac{\alpha}{m}\sum{i=1}^{m}((h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)}) $$ 这里 $ \alpha $ 就是学习率，$ \theta_j $ 每经过一步都会进行一次更新，得到新的结果，经过梯度下降过程，$ \theta_j $ 都会更新为使得梯度最小化的数值，最后就完成了 $ \theta $ 的求解。以上便是线性回归的整个推导和求解过程。

实战操作

现在呢，我们想要根据前面的数据来求解这个真实的问题，为了解决这个问题，我们在这里用 Python 的 Sklearn 库来实现。对于线性回归来说，Sklearn 已经做好了封装，直接使用 LinearRegression 即可。它的 API 如下：

1	class sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=None)

参数解释如下：

fit_intercept : 布尔值，是否使用偏置项，默认是 True。
normalize : 布尔值，是否启用归一化，默认是 False。当 fit_intercept 被置为 False 的时候，这个参数会被忽略。当该参数为 True 时，数据会被归一化处理。
copy_X : 布尔值，默认是 True，如果为 True，x 参数会被拷贝不会影响原来的值，否则会被复写。
n_jobs：数值或者布尔，如果设置了，则多核并行处理。

属性如下：

coef_：x 的权重系数大小
intercept_：偏置项大小

代码实现如下：

from sklearn.linear_model import LinearRegression

x_data = [
    [6000, 58],
    [9000, 77],
    [11000, 89],
    [15000, 54]
]
y_data = [
    30000, 55010, 73542, 63201
]

lr = LinearRegression()
lr.fit(x_data, y_data)
print('方程为：y={w1}x1+{w2}x2+{b}'.format(w1=round(lr.coef_[0], 2),
                                       w2=round(lr.coef_[1], 2),
                                       b=lr.intercept_))
x_test = [[12000, 60]]
print('贷款金额为：', lr.predict(x_test)[0])

运行结果：

1 2	方程为：y=4.06x1+743.15x2+-37831.862532707615 贷款金额为：55484.33779181102

在这里我们首先声明了 LinearRegression 对象，然后将数据整合成 xdata 和 y_data 的形式，然后通过调用 fit() 方法来对数据进行拟合。拟合完毕之后，LinearRegression 的 coef 对象就是各个 x 变量的权重大小，即对应着 $ \theta1, \theta_2 $，intercept 则是偏移量，对应着 $ \theta_0 $，这样我们就可以得到一个线性回归表达式了。然后我们再调用 predict() 方法，将新的测试数据传入，便可以得到其预测结果，最终结果为 55484.34，即孙七的可贷款额度为 55484.34 元。以上便是机器学习中线性回归算法的推导解析和相关调用实现。